चाकोरीबाहेरचं गणित

शालान्त परीक्षा मंडळाने "सोप्या गणिताचा' पर्यायी विषय आणल्याचे आजच पेपरात वाचले. पण सध्या असलेल्या कठीण गणितानेही समाधान न होणारी काही मुले (आणि अर्थातच त्यांचे पालक व शिक्षक ) असतात. अशी मुले गणित अध्यापक मंडळाने घेतलेल्या गणिताच्या बहिःशाल परीक्षांना किंवा देशातील किंवा देशाबाहेरील गणित ऑलिंपियाडला वगैरे बसतात.

ह्या बालगणितींच्या प्रज्ञेला अनेक आव्हानात्मक प्रश्न खुणावत असतात.

"दोन संख्यांच्या चवथ्या घातांची बेरीज 3026 असेल तर खालील प्रश्नांची कारणांसह उत्तरे द्या:

-त्या संख्या किती अंकी आहेत?

-त्या संख्या दोन्ही सम की दोन्ही विषम किंवा एक सम आणि एक विषम अशा आहेत?

- त्या संख्या कोणत्या?''

अशा प्रश्नांची तर्काधिष्ठित उत्तरे कशी द्यावी ह्याचे मार्गदर्शन करणारी "गणितातील चाकोरीबाहेरील वाटा' ही श्री. वा. के. वाड ह्यांची उत्तम मराठी पुस्तिका (ISBN-81-7424-043-8) आहे.

गणितासाठी चांगलं काय? इंग्लिश की सेमी-इंग्लिश? वैदिक गणित की जपानी पद्धत की चिनी पद्धत असले प्रश्न ह्या पातळीवर आपोआपच निरर्थक ठरतात. कोणत्या आणि किती विद्यार्थ्यांनी ह्या फंदात पडावे हा चर्चेचा विषय असू शकतो. पण गणिताचे शिक्षक म्हणविणाऱ्या सर्वजणांनी मात्र अशा पातळीवरील गणितीय प्रश्नांशी अवश्य झट्या घ्याव्यात.

बीजगणिताची मुद्राराक्षसाशी झटापट

प्रश्नपत्रिका संगणकावर तयार करणाऱ्या शिक्षकांना किंवा मुद्रकांना सगळ्यात नकोसे वाटते ते बीजगणितातील राशी आणि समीकरणे टाईप करणे. मायक्रोसॉफ्ट ऑफिस आणि ओपन ऑफिस अशा दोन्ही प्रोग्राम्समध्ये हे करणे शक्य असते. एमएस वर्डमध्ये इन्सर्ट - ऑब्जेक्ट - क्रिएट न्यू - ऑब्जेक्ट टाईप - मायक्रोसॉफ्ट इक्वेशन असा प्रवास केल्यावर इक्वेशन एडिटर उघडतो. त्यातील चिह्ने समजून घेऊन वापरणे अवघड नसले तरी वेळखाऊ आणि जिकिरीचे आहे. ओपन ऑफिसमध्ये फॉर्म्युला विभागात जास्त चांगला इक्वेशन एडिटर आहे पण तो वापरण्यासाठी बीजगणिताचे ज्ञान आवश्यक आहे. शिक्षक हाताने प्रश्नपत्रिका लिहिताना, ती वाचणाऱ्याला गणिताचे ज्ञान असल्याचे साहजिकच गृहीत धरतात त्यामुळे त्यांचे लिखाण मुद्रणशास्त्राप्रमाणे काटेकोर असत नाही. ही प्रश्नपत्रिका संगणकावर उतरवणाऱ्याला गणिताचे ज्ञान असतेच असे नाही. मग आनंदी आनंद. गणिताच्या पेपरमध्ये मुद्रणाच्या चुका नित्याच्याच आहेत.

गणिताची किंवा तांत्रिक पुस्तके छापताना ल टेक्स नावाची प्रणाली वापरतात. माध्यमिक शिक्षणापुरते बोलायचे तर इंटरनेटवर टेक्सएड, लिटरल मॅथ, मॅथकास्ट, फॉर्म्युलेटर टार्शिया, मॅथ मॅजिक असे अनेक इक्वेशन एडिटर्स विनामूल्य उपलब्ध आहेत.

त्यातील मॅथकास्ट हा एडिटर मला एखादा कॅल्क्युलेटर वापरण्याइतका सोपा वाटतो. त्यात चुका होण्याचा संभवही खूप कमी आहे. क्रमवर्तन (क्रमनिरपेक्षता) आणि सहयोग वगैरे नियमांचे तर्कशास्त्र त्यात आपोआप विचारात घेतले जाते. ह्या एडिटरसाठी लागणारे फॉण्ट्‌ससुद्धा विनामूल्य उपलब्ध आहेत. बैजिक राशी ह्या एडिटरमध्ये तयार करून वर्डमध्ये किंवा पेजमेकरमध्ये सहज चिकटवता येतात. गणिताच्या प्रश्नपत्रिका तयार करणाऱ्यांना हे एक वरदानच आहे.

जादूचे चौकोन

लहानपणी मला जादूचे चौकोन गोळा करण्याचा आणि तयार करण्याचा छंद होता. ज्या चौकोनात आडवी, उभी आणि तिरकी बेरीज सारखीच येते असे चौकोन.

एखादा 4 X 4 चौकोन तयार करण्याचा हा सोपा फॉर्म्युला पहा :

| 7 | 10|13+| 0 |

|12+| 1 | 6 | 11|

| 2 |15+| 8 | 5 |

| 9 | 4 | 3 |14+|

+ चिह्नाचा अर्थ काय ते पुढे पाहू. समजा आपल्याला चौकोनाची बेरीज 47 यायला हवी असेल तर (x-30) / 4 असे सूत्र वापरा. 47-30=17 भागिले 4 म्हणजे भागाकार 4 आणि बाकी 1 हे दोन अंक ध्यानात ठेवा.

आता आपल्या वरील चौकोनातील प्रत्येक अंकात भागाकार 4 हा अंक मिळवा आणि + चिह्न असलेल्या ठिकाणी 4+1=5 हा अंक मिळवा. झाला तुमचा 47 बेरीज येणारा जादू चौकोन तयार !

| 11| 14| 18| 4 |

| 17| 5 | 10| 15|

| 6 | 20| 12| 9 |

| 13| 8 | 7 | 19|

आता किती पद्धतींनी 47 बेरीज येते ते पाहू :

| A | B | C | D |

| E | F | G | H |

| I | J | K | L |

| M | N | O | P |

असा चौकोन असल्यास,

A + B + C + D= 47

I + J + K + L= 47

A + F + K + P= 47

A + D + M + P= 47

I + J + M + N= 47

C + D + G + H= 47

E + I + H + L= 47

A + E + I + M= 47

C + G + K + O= 47

E + F + G + H= 47

M + N + O + P= 47

M + J + G + D= 47

F + G + J + K= 47

A + B + E + F= 47

K + L + O + P= 47

B + C + N + O= 47

B + F + J + N= 47

D + H + L + P= 47

गणितातील गंमतीजमतींसाठी ही साईट पहा.

ही साईट पाहिल्यावर बऱ्याच दिवसांनी जुन्या आठवणी जाग्या झाल्या.

Math Knowledge

Two mathematicians were having dinner in a restaurant, arguing about the average mathematical knowledge of the American public. One mathematician claimed that this average was woefully inadequate, the other maintained that it was surprisingly high.

"I'll tell you what," said the cynic. "Ask that waitress a simple math question. If she gets it right, I'll pick up dinner. If not, you do." He then excused himself to visit the men's room, and the other called the waitress over.

"When my friend comes back," he told her, "I'm going to ask you a question, and I want you to respond `one-third x cubed.' There's twenty bucks in it for you." She agreed.

The cynic returned from the bathroom and called the waitress over. "The food was wonderful, thank you," the mathematician started. "Incidentally, do you know what the integral of x squared is?"

The waitress looked pensive; almost pained. She looked around the room, at her feet, made gurgling noises, and finally said, "Um, one-third x cubed?"

So the cynic paid the check. The waitress wheeled around, walked a few paces away, looked back at the two men, and muttered under her breath, "...plus a constant."

------------------------

I found this anecdote here. Do visit the site if you want to read more.